Вот часто пользуюсь какими то банковскими услугами, а теперь не знаю где открыть текущий счет.

Сейчас выгодных предложений от банков много. Я вот часто кредиты беру, и если приходится выбирать между банками так моё предпочтение получает почти всегда ОТП банк. Вот здесь рко для юридических лиц выгодно otpbank.com.ua. Любые услуги доступны всем без исключения.

А по Украине какому банку лучше доверить свои сбережения и проведение всех банковских операций?

Уверен, что необязательно быть клиентом какого-либо банка Украины. Достаточно завести карту от Мастеркард https://www.mastercard.ua и все. При этом у вас будут все возможности расплачиваться онлайн, получать и перечислять деньги, бесконтактная форма оплаты в магазинах. Касательно обслуживания лучше уточняйте по определенной карте, поскольку Мастеркард предлагает на выбор много разных карт, в том числе и валютные.